Reseña Historica del Algebra Lineal Moderna

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Reseña Historica del Algebra Lineal Moderna

Mensaje  Jennifer Juliado el Vie Mayo 01, 2009 10:34 pm

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro De lineale Ausdehnungslehre.

William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805 – 2 de septiembre de 1865) fue un matemático, físico, y astrónomo irlandés, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. Su descubrimiento del cuaternión es quizá su investigación más conocida. El trabajo de Hamilton en dinámica fue después decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica, donde un concepto fundamental llamado hamiltoniano lleva su nombre. Hamilton demostró su inmenso talento a una edad muy temprana, cosa que hizo decir al Dr. John Brinkley, astrónomo y obispo de Cloyne, en 1823 que Hamilton a la edad de 18 años: "Este joven, no digo que será, sino es, el primer matemático de su tiempo". Al final de su vida tuvo graves problemas de alcoholismo.
Quizás el momento más recordado de su vida fue cuando, según cuenta el mismo, acudió a su cabeza como un relámpago, la estructura de los números cuaternionicos. Evidentemente, Hamilton llevaba mucho tiempo pensando en aquel problema, pero sea como fuere, un día de 1843, paseaba por el puente de Brongham, que cruza el canal Real de Dublín, cuando de repente comprendió la estructura de los cuaterniones. Acto seguido grabó con la punta de su navaja, sobre una piedra del puente la feliz idea. ( esta inscripción no se conserva hoy día).
Los cuaterniones tienen una gran importancia en física relativista y en física cuantica, así como para demostrar un teorema propuesto por Lagrange según el cual, cualquier entero puede escribirse como la suma de 4 cuadrados perfectos.
Cuenta la leyenda, que a Hamilton se le permitía pisar el césped de la Universidad, algo totalmente prohibido. Este hecho camina entre la realidad y la ficción. Posiblemente ocurriera que absorto en sus meditaciones descuidara esta prohibición, y accidentalmente caminase por los jardines, aunque absolutamente nadie en toda Irlanda se hubiera atrevido a interrumpirle o a amonestarle. Esta anécdota seguramente sirviera para dar idea de la categoría de Hamilton como uno de los grandes matemáticos de su tiempo y de la historia.

Teorema de Hamilton
Postula que el vector velocidad de un planeta, sometido a la Ley de Fuerzas de Kepler alrededor del Sol, describe un círculo. Hamilton llamó hodógrafo a la curva descrita por el vector velocidad (del griego hodos, camino).
El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el 2º y 3er cuadrante del plano cartesiano. Un vector, aquí, es un segmento de línea directa, caracterizado por ambas longitudes y magnitudes, así como dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar ciertas magnitudes físicas como fuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de espacio vectorial.

El Álgebra Lineal hoy en día se ha extendido a considerar ''n''-espacio, puesto que los más útiles resultados de los cuadrantes segundo y tercero pueden ser extendidos ''n''-dimensionalmente en el espacio, pero podemos considerar que el álgebra lineal investiga y abarca espacios infini-dimensionales. Aunque mucha gente no puede visualizar vectores en ''n''-espacio, como los vectores ó ''n''-multiplo es útil representando información. Puesto que los vectores, como ''n''-múltiplo, son considerados listas ''ordenadas'' de ''n'' componentes, la mayor parte de la gente puede resumir y manipular información eficientemente en esta estructura. Por ejemplo, en economía, uno puede crear y usar, digamos, vectores octo-dimensionales ú óctuples para representar el Producto Interno Bruto para 8 diferentes países. Uno puede simplemente mostrar el Producto Interno Bruto en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, y es parte del álgebra abstracta, y bien podemos integrar todo esto en un campo. Algunos ejemplos contundentes en este grupo son la inversión lineal de mapas o matrices, y el anillo de mapas lineales de un espacio vectorial. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, notablemente, en la descripción de derivadas de alto grado (o nivel) en el análisis vectorial y en el estudio de los productos de tensor (''desconozco la traducción de esta última palabra'') y sus mapas alternativos.

Un espacio vectorial se define sobre un campo, tal como es el campo de los números reales o en el campo de los números complejos. Los operadores lineales toman/tienen efecto en el espacio lineal de otro (o en sí mismo), en una manera que es compatible con la suma/adición y la multiplicación escalar en un (o más) espacio(s) vectorial(es). Es el arreglo en sí las transformaciones del espacio vectorial. Si la base de un espacio vectorial está definida, cada transformación está definida, y cada transformación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y origen vectores (también denominados auto vectores), se consideran parte del álgebra.

Uno puede resolver problemas lineales de matemáticas -o aquellos que exhiben un comportamiento de linealidad. Por ejemplo el cálculo diferencial que es simplemente hace un estupendo trabajo en la aproximación lineal de funciones. La diferenciación entre problema no-lineal y uno lineal es muy importante en la práctica.

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número: Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna, también llamada álgebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes.
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Jennifer Juliado

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