importancia de las matrices y utilidad

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ecuaciones lineales

Mensaje  jorge luis arias brizeula el Jue Jun 18, 2009 10:47 am

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:



El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Tipos de sistemas [editar]Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:



Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Métodos de resolución [editar]
Sustitución [editar]El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:



En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.



El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .



Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.


Igualación [editar]El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:



Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.



Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada.


Reducción [editar]Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema


no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:


Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :


El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a .

El Álgebra Lineal ha probado ser el lenguaje más apropiado para el tratamiento moderno de muchas disciplinas. Además, está presente en diversos pasos clave de los métodos numéricos de solución aproximada de ecuaciones diferenciales e integrales. El programa comienza con el Álgebra Matricial. Se hace especial hincapié en la resolución de Sistemas Lineales de Ecuaciones Algebraicas y en los problemas prácticos que acarrea la resolución de grandes sistemas de ecuaciones. Hay que recordar que muchos métodos numéricos dependen fuertemente en su solución final de alguno de tales sistemas. En diversas asignaturas de la titulación se pone claramente de manifiesto. También se presentan las Aplicaciones Lineales y la relación entre matrices y aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. El lenguaje de las Aplicaciones Lineales es básico en el tratamiento de cualquier problema lineal, en especial, de los problemas diferenciales lineales que aparecen constantemente en los estudios de la titulación y en las aplicaciones físicas y técnicas en general. La diagonalización de matrices se presenta bajo el título de Teoría Espectral. La palabra espectral está tomada de la Física. La radiación que un átomo emite al vibrar se distribuye, al atravesar un prisma, en el llamado espectro atómico, es decir, en una banda exclusiva de colores del arco iris. Cada uno de esos colores o radiaciones elementales separadas corresponde a una frecuencia, que resulta ser el valor propio de un cierto operador lineal. En general, para los sistemas vibrantes, mecánicos y eléctricos, -modelados por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales-, los modos normales de vibración son descritos por los valores y vectores propios del operador diferencial correspondiente a la ecuación o sistema diferencial. La diagonalización es la base para la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Para ponderar la importancia de los sistemas de ecuaciones diferenciales baste decir que con ellos se modelan sistemas físicos (mecánicos y eléctricos) complejos. También se estudia la Geometría de un espacio vectorial. La introducción de un producto escalar permite definir una serie de conceptos geométricos tales como longitud de un vector, distancia, ángulo entre vectores, ortogonalidad, etc. Sin embargo, los aspectos geométricos no son sino el pretexto y la forma intuitiva de acceder a un tema de enorme trascendencia: la teoría de la aproximación. Desde esta perspectiva se desarrolla el método de los mínimos cuadrados que permite aproximar funciones obtenidas experimentalmente mediante ciertas funciones elementales, lo que es una herramienta clave en la experimentación y la formulación teórica de problemas. Las ideas anteriores se extienden a la aproximación de funciones en el seno de espacios funcionales, y se da una introducción elemental a las series de Fourier. Los conceptos introducidos van a ser decisivos para la aproximación de la solución de los problemas elípticos, lo que constituye la base de los llamados métodos variacionales de solución aproximada de ecuaciones diferenciales, que tantas aplicaciones tienen en las aplicaciones, incluyendo la Telecomunicación.

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matrices y utilidades

Mensaje  jorge luis arias brizeula el Jue Jun 18, 2009 10:22 am

matrices y su utilidad

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...



CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)



Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.

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importancia de las matrices y utilidad

Mensaje  francelis montes de oca el Vie Jun 05, 2009 5:47 pm

Matrices origen y usos
la teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sicología y sociología.
El objeto con que se representan las conexiones en la anterior página es una matriz. En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.
TIPOS DE MATRICES
Las matrices se clasifican atendiendo al número de filas y columnas que poseen y también atendiendo al valor que toman sus elementos. Son de especial interés las matrices cuadradas, y dentro de estas, algunos tipos particulares.
Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.
0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2]
-1 4 3 0 3
Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.
Las matrices se denotan por medio de letras mayúsculas por tanto si se nombra por A la matriz será:
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Esta matriz posee 3 filas y 3 columnas.
Orden de una matriz
Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3 (pero nunca pensemos que es de orden 9).
El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.
Ejemplo:
La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas
2 0 1 y 3 columnas.
Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .
Ejemplo:
A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.
B = (b11, b12, …. b32nn) es un vector en 1Rn.
De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una sola columna entonces tenemos un vector en 1Rn.
Ejemplos:
a11
A = a12 es un vector en 1R3.
a13
Clasificación de las matrices
Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.
Son matrices de orden, p x p ó p2.
Las matrices:
A = 2 0 B = 0 2 3
-3 1 -1 0 2
0 0 0
son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.
Los elementos a11, a22, a33, ... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.
La diagonal principal será:
a11 ... ... ...
A = ... a22 ... ...
... ... a33 ...
... ... ... ann
una matriz cuadrada tal que:
a11 = a22 = a33 = .... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.
La representaremos por I o sea:
IA = 1 0
• 1
es una matriz de orden 2 x 2.
Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.
Esta es un matriz diagonal:
2 0 0 0
A = 0 3 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 4
Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.
Ejemplo:
A = 3 0 0 es una matriz inferior.
1 2 0
-1 0 4
B = 4 1 -2
0 1 5 es una matriz superior.
0 0 3
Esquema de filas, columnas y diagonal principal.
1 0 4 7 filas
A = 0 2 5 8
0 3 6 9
1 2 1 0 diagonal principal
columnas
Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.
Ejemplo:
0 0 0
A = 0 0 0
0 0 0
Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.
Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.
A = 1 -3 5
-3 2 0
5 0 1
Es simétrica porque: a12 = a21 = -3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.
Una matriz es asimétrica si: aij = aji.
Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.
En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.
B = 0 2 -2 5
-2 0 3 6
2 -3 0 -1
-5 6 1 0
Es una matriz asimétrica
Matriz escalar
Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.
A = 3 0 0
0 3 0
0 0 3
Matriz identidad
Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.
Esta matriz se representa por 1n.
12 = 1 0
• 1
Igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.
Ejemplo:
A = a b B = x y
c d z w
Si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.
Matriz transpuesta
Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).
Ejemplo:
Si
A = 4 -1 3
0 5 -2
Entonces su traspuesta será:
At = 4 0
-1 5
• -2
Determinantes
A toda matriz cuadrada A, se le asocia un número k, denominado su determinante. Al determinante de A, lo denotamos por Det. A o A .
Adoptaremos barras en vez de paréntesis, para representar a los determinantes, diferenciándolo de una matriz.
Así: a11 a12 representará el determinante de la matriz a11 a12 .
a21 a22 a21 a22
La regla para encontrar el determinante de una matriz 2 x 2 es la siguiente:
Dado a11 a12
a21 a22 , multiplicaremos los elementos de su diagonal principal, a11 a22, y restaremos de este producto el producto de los resultantes elementos, a12 a21.
La regla para obtener el determinante de una matriz 3 x 3 es similar a la regla para obtener el determinante de una matriz 2 x 2.
Dado: a11 a12 a13
a21 a22 a23 lo escribimos, repitiendo bajo de la tercera fila,
a31 a32 a33 las dos primeras filas. Así:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 Tercera fila
a11 a12 a13 Primera y segunda fila.
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 .
a21 a22 a23
Se multiplica de izquierda a derecha los elementos y se suman los productos:
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
Luego se multiplican los elementos de la derecha a izquierda y se suman estos productos, cambiados de signo:
-a13 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
Por último:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 - a13 a22
a31 a32 a33 a31 -a23 a32 a11 - a33 a12 a21
Las marices tienen mucha aplicaciones. Se utilizan en
Resolución de sistemas de ecuaciones y de inecuaciones (problemas de optimización
En el estudio de las cónicas
En física como muchas magnitudes son vectores, se utilizan ampliamente.


EMPRENDEDORA: FRANCELIS MONTES DE OCA
CI 18877925
SECCION 1BAS. ING AGRONOMA
3 SEMESTRE

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